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光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉

      光纤波导横截面是二维(r和φ)尺寸,如图3.2.6所示,反射从所有表面,即从与y轴成 φ角的任意半径方向所碰到的界面发生反射。为了理解光纤的传输理论,先来分析光线在一维(φ=0)光纤波导中的传播,如图3.2.2所示。
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图1)
图3.2.2光纤波导中传输的光波必须与它自己相长干涉,否则相消干涉就不会建立起传输光场
    由于波导芯的折射率n1大于包层的折射率n2,所以光在光纤波导界面处发生全反射。取电场E方向为沿x方向、平行于界面并正交于z方向。光线以z字形沿z方向向前传播,并在纤芯和包层界面处(如B和C点)全反射,图中用细实线表示出光线恒定的相位波前,它正交于传输方向。光线在C点反射后,反射光线波前正好与在A点的起始光线波前重叠,如果它们不同相,这两束光线将相消干涉,相互抵消。因此只有特定的反射角θ能够发生相长干涉,由此可见,只有特定的波才能在波导中存在。
       A和C两点的相位差对应光路径长度AB+BC,而且在A和B点的每次全反射都会产生一个相位差ϕ。假如k1 是光波在n1 介质中的传播常数,k1=kn1=2πn1/λ,式中k和λ分别是自由空间传播常数和波长。为了实现相长干涉,A、C两点间的相位差必须是2π的整数倍,即
Δϕ(AC)=k1(AB+BC)-2ϕ=m(2π),m=0,1,2,…
由图3.2.2可知,BC=d/cosθ,AB=BCcos(2θ),于是
AB+BC=BCcos(2θ)+BC=BC[(2cos2θ-1)+1]=2dcosθ
所以光波在波导中传输的条件是
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图2)
       显然,对于给定的m,只有一定的θ和ϕ值才能满足式(3.2.5),ϕ与θ有关,也与光波的偏振态有关。因此对于每个m值,将允许有一个θm和一个相对应的ϕm。因k1=2πn1/λ,d=2a,所以满足波导相长干涉的波导条件式(3.2.5)变成
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图3)
式中,ϕm表示ϕ是入射角θm的函数。
       波矢量k 1可以分解成两个沿波导(z轴)的传播常数β和k,如图3.2.2 所示。设θm满足波导条件,则
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图4)
       由式(3.2.6)显然可见,只有一定入射角的光线才能在波导内传输,并与m=0,1,2,…对应,而且大的m值产生小的θm角。每个不同的m值将产生不同的由式(3.2.7)决定的传播常数β,m值称为模数。
       与式(2.2.1)类似,沿波导传输的光波可用式(3.2.9)来描述
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图5)
式中,Em(y)表示对于给定的m,电场在z方向传输过程中沿y方向的分布,如图3.2.3所示。图3.2.4表示m=0,1,2三种模式的波沿波导y方向的电场分布,m越大,光场进入包层越深,在包层靠近界面的消逝波以指数形式沿y方向衰减。整个电场沿z方向以各自的传播常数βm传输,从3.1.4节可知它是群速度。图3.2.5表示光脉冲进入波导后分裂成各种模式的波,以不同的群速度向前传输,高阶模传输最慢,低阶模最快,在波导输出端重新复合构成展宽的输出光脉冲。
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图6)
图3.2.3m=0基模光波沿波导y方向的电场分布,通常入射角θ=90°,沿z方向的相速度最大
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图7)
图3.2.4m=0,1,2三种模式的波沿光纤波导y方向的电场分布
光波在波导中传输的条件——全反射和相长干涉(图8)
图3.2.5光脉冲进入光纤波导后分裂成各种模式的波